Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x + y + 1$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - y = x + 1$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x + e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 7.4.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Paso 7.5

Sea $u_{1} = - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.5.1

Deja $u_{1} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Paso 7.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Paso 7.7

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- x} d x$

Paso 7.8

Sea $u_{2} = - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.8.1

Deja $u_{2} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 7.10

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C) - (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Simplifica.

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C$

Paso 7.11.2

Resta $e^{u_{2}}$ de $- e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C$

Paso 7.12

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- x} y = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $- x$ por $1$ .

$y = - x + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = - x + \frac{- 2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$y = - x - 2 + \frac{C}{e^{- x}}$