Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 7.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Paso 7.4.2

Simplifica.

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Paso 7.4.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.4.2.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.4.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Paso 7.4.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.4.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.4.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 7.4.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.4.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 7.4.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 7.4.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.6

Simplifica.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

Paso 8.4.2.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Paso 8.4.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

Paso 8.4.2.1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

Paso 8.4.2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

Paso 8.4.2.1.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Paso 8.4.2.1.3

Reordena los factores en $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Paso 8.4.2.1.4

Mueve $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 8.4.2.1.5

Reordena $x \ln (x^{2})$ y $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$