Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza $8 x y$ de $8 x^{3} y - 8 x y$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $8 x y$ de $8 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $8 x y$ de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $8 x y$ de $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Paso 1.1.3

Factoriza.

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Paso 1.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Paso 1.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Paso 1.3.2

Combina $8$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $x y (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Paso 1.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Paso 1.3.7

Expande $(x^{2} + x) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Paso 1.3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Paso 1.3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.8.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.8.1.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.3.8.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8.1.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8.1.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Paso 1.3.8.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Paso 1.3.8.1.6

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Paso 1.3.8.2

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Paso 1.3.8.3

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Paso 1.3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Paso 2.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ como $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$