Cálculo Ejemplos

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Paso 1.2

Como $e^{x^{3}}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ con respecto a $y$ es $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} y - x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Paso 1.4

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2} y$ con respecto a $y$ es $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Paso 1.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Paso 1.7

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Paso 1.8

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Reordena los factores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 1.9.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 2.4.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x^{2} e^{x^{3}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 x^{2} e^{x^{3}}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{x^{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x^{3}} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{x^{3}} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 8.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 8.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Simplifica $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

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Paso 9.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 9.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Paso 9.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Paso 9.1.1.4

Reordena.

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Paso 9.1.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Paso 9.1.1.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 9.1.1.4.3

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Paso 9.1.2.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

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Paso 9.1.2.2.1

Resta $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ de $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Paso 9.1.2.2.2

Suma $- x^{2} e^{x^{3}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- x^{2} e^{x^{3}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Paso 10.4

Sea $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Entonces $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 10.4.1

Deja $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 10.4.1.1

Diferencia $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Paso 10.4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 10.4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 10.4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 10.4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 10.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 10.4.1.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1.4.1

Reordena los factores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Paso 10.4.1.4.2

Reordena los factores en $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Paso 10.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 10.5

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Paso 10.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.6.1

Reescribe $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ como $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Paso 10.6.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

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Paso 12.1

Combina $e^{x^{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.2

Resta $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ de $e^{x^{3}} y$ .

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Paso 12.2.1

Reordena $e^{x^{3}}$ y $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.2.2

Para escribir $y e^{x^{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.2.3

Combina $y e^{x^{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.3.2

Factoriza $e^{x^{3}}$ de $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

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Paso 12.3.2.1

Factoriza $e^{x^{3}}$ de $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Paso 12.3.2.2

Factoriza $e^{x^{3}}$ de $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Paso 12.3.2.3

Factoriza $e^{x^{3}}$ de $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$