Cálculo Ejemplos

$y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (x + y + 1)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x + y + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \cdot 1$

Paso 1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $x + y + 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + x + y + 1$

Paso 1.3.8.2

Suma $y$ y $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (x + 3 y + 2)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3 y + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \cdot 1$

Paso 2.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.8.1

Multiplica $x + 3 y + 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 3 y + 2$

Paso 2.3.8.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y + 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x + 2 y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x + 3 y + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x + 3 y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $x + 2 y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y (x + y + 1)$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y (x + y + 1)$ por $M$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - (2 y) - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.2.3

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 3 y + 2 - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 y$ de $3 y$ .

$\frac{x + y + 2 - 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.2.5

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.3

Sustituye $y (x + y + 1)$ por $M$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Paso 5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Paso 5.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$ por el factor integrador $y$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y (x + y + 1)$ por $y$ .

$y (x + y + 1) y d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $y$ .

$y \cdot y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y^{2} x + y^{2} y + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 6.4.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(y^{2} x + y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(y^{2} x + y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x (x + 3 y + 2)$ por $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) y d y = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x \cdot x + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Paso 6.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + x \cdot 2) y d y = 0$

Paso 6.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + 2 \cdot x) y d y = 0$

Paso 6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Paso 6.9

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1

Mueve $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 x y) d y = 0$

Paso 6.9.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} x + y^{3} + y^{2} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y^{2} x + y^{3} + y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int y^{2} x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Paso 8.2

Dado que $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Paso 8.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Paso 8.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Paso 8.6

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + y^{2} x + C$

Paso 8.7

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Paso 8.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 11.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.5

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.6

Combina $\frac{2 x^{2}}{2}$ y $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.3.7.2

Divide $x^{2} y$ por $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Paso 11.4.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Paso 11.5.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.5.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.6

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 11.7

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y$

Paso 12.1.2

Resta $3 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Paso 12.1.3

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$ .

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Paso 12.1.4.1

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y + 0 - 3 y^{2} x - 2 x y$

Paso 12.1.4.2

Suma $3 x y^{2} + 2 x y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Paso 12.1.4.3

Reordena los factores en los términos $3 x y^{2}$ y $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Paso 12.1.4.4

Resta $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Paso 12.1.4.5

Suma $2 x y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Paso 12.1.4.6

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Paso 15.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$