Cálculo Ejemplos

$2 x y d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $2 x y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} - 1$ de $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

Paso 3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

Paso 3.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Paso 3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $y$ de $(x + 1) (x - 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ y $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u = (x + 1) (x - 1)$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u = (x + 1) (x - 1)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Paso 4.3.4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.3.4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.4.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.4.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.4.1.3.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 4.3.4.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3.4.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 4.3.4.1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Paso 4.3.4.1.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.4.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Paso 4.3.4.1.3.8.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Paso 4.3.4.1.3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Paso 4.3.4.1.3.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.3.4.1.3.8.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.4.1.3.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Paso 5.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

Paso 5.3

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Paso 5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Paso 5.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Paso 5.4.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Paso 5.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

Paso 5.4.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

Paso 5.4.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

Paso 5.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

Paso 5.6

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

Paso 5.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

Paso 5.7

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

Paso 5.8

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

Paso 5.9

Reescribe $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

Paso 5.10

Resuelve $y$

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Paso 5.10.1

Reescribe la ecuación como $| y x^{2} - y | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

Paso 5.10.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

Paso 5.10.3

Factoriza $y$ de $y x^{2} - y$ .

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Paso 5.10.3.1

Factoriza $y$ de $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

Paso 5.10.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

Paso 5.10.3.3

Factoriza $y$ de $y (x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

Paso 5.10.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

Paso 5.10.5

Factoriza.

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Paso 5.10.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

Paso 5.10.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

Paso 5.10.6

Divide cada término en $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ por $(x + 1) (x - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.10.6.1

Divide cada término en $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.10.6.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.10.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.6.2.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.10.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5.10.6.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$