Cálculo Ejemplos

$x^{2} (\frac{d y}{d x}) - 2 x y = x^{4} + 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = x^{4} + 3$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.4

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Combinar.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{2 + 2}}$

Paso 3.3.3.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{4}}$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{3}{x^{4}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 1 + \frac{3}{x^{4}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 1 + \frac{3}{x^{4}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 1 + \frac{3}{x^{4}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Paso 7.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Paso 7.3

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Paso 7.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.4.1

Mueve $x^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Paso 7.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 7.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Paso 7.4.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int x^{- 4} d x$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Simplifica.

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Paso 7.6.1.1

Combina $x^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Paso 7.6.1.2

Mueve $x^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Paso 7.6.2

Simplifica.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + \frac{- 1}{x^{3}} + C$

Paso 7.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{2}} y = x - \frac{1}{x^{3}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y - x = - \frac{1}{x^{3}} + C$

Paso 8.1.2

Suma $\frac{1}{x^{3}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y - x + \frac{1}{x^{3}} = C$

Paso 8.1.3

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} y - x + \frac{1}{x^{3}} - C = 0$

Paso 8.1.4

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} - x + \frac{1}{x^{3}} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - C = x$

Paso 8.2.2

Resta $\frac{1}{x^{3}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} - C = x - \frac{1}{x^{3}}$

Paso 8.2.3

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{2}} = x - \frac{1}{x^{3}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = x \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Simplifica.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{1} x^{2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{1 + 2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = x^{3} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{3}}$ al numerador.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = x^{3} - \frac{1}{x} + C x^{2}$

Paso 8.4.2.1.4

Mueve $- \frac{1}{x}$ .

$y = x^{3} + C x^{2} - \frac{1}{x}$