Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = - 2 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{2 + y}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} = - 2 x$

Paso 1.1.2

Multiplica ambos lados por $2 + y$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} (2 + y) = - 2 x (2 + y)$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $2 + y$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{2 + y} (2 + y) = - 2 x (2 + y)$

Paso 1.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x (2 + y)$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica $- 2 x (2 + y)$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x \cdot 2 - 2 x y$

Paso 1.1.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 4 x - 2 x y$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Reordena $- 4 x$ y $- 2 x y$ .

$\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$ por $\sqrt{1 + x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$ por $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.4.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.3.1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.2

Multiplica $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.1.4.3.1.1.3.1

Multiplica $\frac{2 x y}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.3.6.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.5

Multiplica $\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - (\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

Paso 1.1.4.3.1.1.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.1.4.3.1.1.6.1

Multiplica $\frac{4 x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.6

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Paso 1.1.4.3.1.1.6.6.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} - \frac{4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}} - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.3.2.1

Factoriza $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}} - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Paso 1.1.4.3.2.1.1

Factoriza $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $- 2 x y \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) - 4 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.2.1.2

Factoriza $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $- 4 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 2)}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.2.1.3

Factoriza $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ de $2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y) + 2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 y - 2)}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- y - 2)}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.4.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 2)}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.3.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y) - 1 (2))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- (y + 2))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.3.4.1

Reescribe $- (y + 2)$ como $- 1 (y + 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}} (- 1 (y + 2))}{1 + x^{2}}$

Paso 1.1.4.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x \sqrt{1 + x^{2}}) (y + 2)}{1 + x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (- \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 2} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y + 2}$ al numerador.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} (\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2))$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $y + 2$ de $\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.1.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.1.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.3

Simplifica.

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Paso 2.3.7.3.1

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.3.2

Multiplica $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.3.2.1

Multiplica $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.7.3.2.1.1

Eleva $u_{2}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.3.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.7.4.1

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.7.4.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.7.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.7.4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Reescribe $- (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- 1 \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 1 \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.9.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y + 2 |) = - 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 2 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y + 2 | = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 2 | = e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Paso 3.3.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} - 2$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ como $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C} - 2$

Paso 4.2

Reordena $e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- 2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2$