Cálculo Ejemplos

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ por $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 1.4

Reordena $y$ y $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Paso 2.2.1

Divide $x + 2$ por $x + 1$ .

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Paso 2.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Paso 2.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Paso 2.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Paso 2.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Paso 2.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Paso 2.2.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Paso 2.2.4

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.4.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.4.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.2.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{x + 2}{x + 1}$ y $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.2.2

Combina $e^{x + \ln (x + 1)}$ y $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.3

Para escribir $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Factoriza $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.5.1.2

Factoriza $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $e^{x + \ln (x + 1)}$ de $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Paso 3.6

Multiplica $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

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Paso 3.6.1

Combina $e^{x + \ln (x + 1)}$ y $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $e^{x + \ln (x + 1)}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.2.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.6.2.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.6.2.4

Suma $0$ y $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Reescribe.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $e^{x + \ln (x + 1)}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.2.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.7.2.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.7.2.4

Suma $0$ y $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Paso 3.7.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

Paso 3.7.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Paso 3.8.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Paso 3.9

Reordena los factores en $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ por $e^{x + \ln (x + 1)}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ por $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$