Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\sin (2 y)$ .

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\sin (2 y)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 y$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.2

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 3 x$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sin^{2} (y)$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.3.3

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.3.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.4

Multiplica.

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Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $\sin^{2} (y)$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Aplica la razón del ángulo triple sinusoidal.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Paso 3.3.1.3.2

Combina $\frac{- 4}{3}$ y $\sin^{3} (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Paso 3.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Factoriza $3$ de $3 \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

Paso 3.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Paso 3.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Paso 3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.4.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Paso 3.4.3.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Paso 3.4.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Paso 3.4.3.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Paso 3.4.3.5