Cálculo Ejemplos

$(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y + y - e^{- x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y - e^{- x}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + y - e^{- x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Paso 1.4.2

Como $- e^{- x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + 0$

Paso 1.4.3

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 1 = 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x + 1 = 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x$ por $N$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{x}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 x + 0}{x}$

Paso 4.3.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 x}{x}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{x}$

Paso 4.3.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int 2 d x}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$ por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x y + y - e^{- x}$ por $e^{2 x}$ .

$(2 x y + y - e^{- x}) e^{2 x} d x + x d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{- x} e^{2 x}) d x + x d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - (e^{2 x} e^{- x})) d x + x d y = 0$

Paso 6.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{2 x - x}) d x + x d y = 0$

Paso 6.3.3

Resta $x$ de $2 x$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x$ por $e^{2 x}$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x e^{2 x} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x e^{2 x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x e^{2 x} y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y + g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{2 x} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{2 x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$y (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$y (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.3.9

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x (2 e^{2 x})) + y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 11.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $2 x y e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x}$

Paso 12.1.2

Resta $y e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$ .

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Paso 12.1.3.1

Resta $2 x y e^{2 x}$ de $2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

Paso 12.1.3.2

Suma $0$ y $y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

Paso 12.1.3.3

Resta $y e^{2 x}$ de $y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Paso 12.1.3.4

Resta $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- e^{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Paso 13.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Paso 13.5

Simplifica.

$g (x) = - e^{x} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{2 x} - e^{x} + C$