Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} d y = (y + 1) d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{y + 1}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} (y + 1) d x$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $y + 1$ de $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} (y + 1) d x$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Divide $y^{2}$ por $y + 1$ .

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Paso 3.2.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Paso 3.2.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Paso 3.2.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Paso 3.2.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{2} + y$ .

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Paso 3.2.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Paso 3.2.1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

Paso 3.2.1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$

Paso 3.2.1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					-	$y$	-	$1$

Paso 3.2.1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- y - 1$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$

Paso 3.2.1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$0$
					+	$y$	+	$1$
							+	$1$

Paso 3.2.1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int y - 1 + \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.5

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.2.5.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 3.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 3.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int x^{- 2} d x$

Paso 3.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - x^{- 1} + C_{5}$

Paso 3.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{5}$ como $- \frac{1}{x} + C_{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{x} + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$