Cálculo Ejemplos

$3 x (x y - 2) d x + (x^{3} + 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x (x y - 2)]$

Paso 1.2

Como $3 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x (x y - 2)$ con respecto a $y$ es $3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Paso 1.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2])$

Paso 1.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + \frac{d}{d y} [- 2])$

Paso 1.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + 0)$

Paso 1.8

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot x$

Paso 1.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x)$

Paso 1.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x^{1})$

Paso 1.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{1 + 1}$

Paso 1.12

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{3} + 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Paso 2.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 x^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x (x y - 2) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 \int x (x y - 2) d x$

Paso 5.2

Expande $x (x y - 2)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = 3 \int x (x y) + x \cdot - 2 d x$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y + x \cdot - 2 d x$

Paso 5.2.3

Reordena $x$ y $- 2$ .

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y - 2 x d x$

Paso 5.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x y - 2 x d x$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x^{1} y - 2 x d x$

Paso 5.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = 3 \int x^{1 + 1} y - 2 x d x$

Paso 5.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{2} y - 2 x d x$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = 3 (\int x^{2} y d x + \int - 2 x d x)$

Paso 5.4

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 (y \int x^{2} d x + \int - 2 x d x)$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x)$

Paso 5.6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x)$

Paso 5.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Paso 5.8

Simplifica.

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + C$

Paso 5.9

Reordena los términos.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.2.1.2

Combina $\frac{y}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})]$ .

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Paso 8.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.3

Como $\frac{x^{3}}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y x^{3}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.5

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.6

Multiplica $\frac{x^{3}}{3}$ por $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.7

Suma $\frac{x^{3}}{3}$ y $0$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.8

Combina $3$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.3.9.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = x^{3} + 2 y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y - x^{3}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} + 2 y - x^{3}$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Paso 10.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Paso 10.5.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{y}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Paso 12.3.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Paso 12.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 x^{2} + y^{2} + C$