Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x + 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 + 2 + K = 3$

Paso 4.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$4 + K = 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 3 - 4$

Paso 4.3.2

Resta $4$ de $3$ .

$K = - 1$

Paso 5

Sustituye $- 1$ por $K$ en $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 1$ por $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$