Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 2 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 2 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

Paso 4.2

Simplifica $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Suma $2$ y $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

Paso 4.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

Paso 4.3

Resta $\ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 3 - \ln (2)$

Paso 5

Sustituye $3 - \ln (2)$ por $C$ en $y = \ln (| 2 + x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $3 - \ln (2)$ por $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

Paso 5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$