Cálculo Ejemplos

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ por $2 x y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.2.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Paso 1.1.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Paso 1.1.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2.1.2

Reordena $\frac{x}{y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{2 x}$

Paso 1.3

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 1.3.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{1}{2} V$

Paso 6.1.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{1}{2} V$

Paso 6.1.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.3.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factoriza $V$ de $V - V \cdot 2$ .

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Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factoriza $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factoriza $V$ de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.1

Para escribir $- \frac{V}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.2

Multiplica $\frac{V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.4.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4.2

Reescribe $V \cdot V$ como $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.6

Multiplica $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común de $2 V$ .

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $2 V$ de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $(1 + V) (1 - V)$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Paso 6.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $V$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u = (1 + V) (1 - V)$ . Entonces $d u = - 2 V d V$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u = (1 + V) (1 - V)$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ es $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ donde $f (V) = 1 + V$ y $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 6.2.2.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - V$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $- V$ con respecto a $V$ es $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (1 + V)$ como $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + V$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Paso 6.2.2.2.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $1$ con respecto a $V$ es $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Paso 6.2.2.2.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Paso 6.2.2.2.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Paso 6.2.2.2.1.3.11

Multiplica $1 - V$ por $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Paso 6.2.2.2.1.4

Simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Paso 6.2.2.2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.2.2.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Paso 6.2.2.2.1.4.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$- V + 0 - V$

Paso 6.2.2.2.1.4.2.3

Suma $- V$ y $0$ .

$- V - V$

Paso 6.2.2.2.1.4.2.4

Resta $V$ de $- V$ .

$- 2 V$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

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Paso 6.2.2.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 6.2.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1

Expande $(1 + | x |) (1 - | x |)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.1.2

Multiplica $- | x |$ por $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica $| x |$ por $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.1.5

Multiplica $| x |$ por $| x |$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.2.1.5.1

Mueve $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.1.5.2

Multiplica $| x |$ por $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.2

Suma $- | x |$ y $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.2.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Paso 6.3.3

Suma $\ln (| x |)$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Paso 6.3.4

Divide cada término en $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.4.1

Divide cada término en $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 6.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 6.3.4.2.2

Divide $\ln (| 1 - V^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 6.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 6.3.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 6.3.4.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Paso 6.3.4.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Paso 6.3.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Paso 6.3.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Paso 6.3.7

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Paso 6.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Paso 6.3.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Paso 6.3.10

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Paso 6.3.11

Reescribe $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Paso 6.3.12

Resuelve $V$

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Paso 6.3.12.1

Reescribe la ecuación como $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Paso 6.3.12.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Paso 6.3.12.3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Paso 6.3.12.4

Divide cada término en $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 6.3.12.4.1

Divide cada término en $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 6.3.12.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.12.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 6.3.12.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.12.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 6.3.12.4.2.2.2

Divide $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 6.3.12.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.12.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.12.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 6.3.12.4.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 6.3.12.4.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.12.4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 6.3.12.4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Paso 6.3.12.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Paso 6.3.12.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

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Paso 6.3.12.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Paso 6.3.12.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Paso 6.3.12.6.3

Reescribe $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Paso 6.3.12.6.4

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 6.3.12.6.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.12.6.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Paso 6.3.12.6.5.2

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Paso 6.3.12.6.5.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Paso 6.3.12.6.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.12.6.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Paso 6.3.12.6.5.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 6.3.12.6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.12.6.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.12.6.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.12.6.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.12.6.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.12.6.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Paso 6.3.12.6.5.6.5

Simplifica.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Paso 6.3.12.6.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Paso 6.3.12.6.7

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$