Cálculo Ejemplos

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Paso 1.2

Integra $- \frac{1}{2 t}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Paso 1.2.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Paso 1.2.3

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{2 t}$ y $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4

Multiplica $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{z}{2 t}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.2.1

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Paso 2.2.4.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.2.4.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Paso 7

Resuelve $z$

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ y $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Paso 7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$