Cálculo Ejemplos

general solution $(x - 2 y) d x + 2 (y - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x - 2 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Paso 1.4

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 2 (y - x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 (y - x)]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (y - x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [y - x]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Paso 2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 = - 2$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 (y - x) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = 2 (y - x)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int y - x d y$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = 2 (\int y d y + \int - x d y)$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y)$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C)$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C - x y + C)$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (\frac{y^{2}}{2} - x y) + g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 (\frac{y^{2}}{2} - x y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 (\frac{y^{2}}{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 (\frac{y^{2}}{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 (\frac{y^{2}}{2} - x y)]$ .

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Paso 8.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (\frac{y^{2}}{2} - x y)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2} - x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{2}}{2} - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.7

Resta $y$ de $0$ .

$2 (- y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.3.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $x - 2 y + 2 y$ .

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Paso 9.1.2.1

Suma $- 2 y$ y $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} - x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{y^{2}}{2} - x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = 2 \frac{y^{2}}{2} + 2 (- x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = 2 \frac{y^{2}}{2} + 2 (- x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.3.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = y^{2} + 2 (- x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x, y) = y^{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} - 2 x y + \frac{x^{2}}{2} + C$