Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = (1 - x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 x + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{3}$ al numerador.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = - x^{3} + 3 x + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + K}$