Cálculo Ejemplos

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Paso 2

Sea $v = y^{2}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Paso 3

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

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Paso 4.1

Factoriza $2 y$ de $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Paso 5

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 5.1

Resta $v$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Paso 5.2

Divide cada término en $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Paso 5.3.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $x$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 5.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 5.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Paso 5.4.2.5

Divide $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Paso 5.5

Factoriza $v$ de $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Paso 5.6

Reordena $v$ y $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Paso 6

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Paso 6.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Paso 6.2

Integra $\frac{- 1}{x}$ .

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Paso 6.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.2.4

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 6.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 6.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 6.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 7

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

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Paso 7.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $\frac{v}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Paso 7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Paso 7.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Paso 7.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Paso 8

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Paso 9

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Paso 10

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Paso 11

Integra el lado derecho.

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Paso 11.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Paso 11.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 11.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 11.3.2

Simplifica.

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Paso 11.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Paso 11.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Paso 12

Resuelve $v$

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Paso 12.2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 12.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Paso 12.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (- x^{2} + C) x$

Paso 12.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.2.1

Simplifica $(- x^{2} + C) x$ .

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Paso 12.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = - x^{2} x + C x$

Paso 12.3.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Paso 12.3.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 12.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Paso 12.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Paso 12.3.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $v$ con $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Paso 14

Resuelve $y$

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Paso 14.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Paso 14.2

Factoriza $x$ de $- x^{3} + C x$ .

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Paso 14.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Paso 14.2.2

Factoriza $x$ de $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Paso 14.2.3

Factoriza $x$ de $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Paso 14.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 14.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Paso 14.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Paso 14.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$