Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{- y} + 10 e^{- y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $e^{- y}$ de $x e^{- y} + 10 e^{- y}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $e^{- y}$ de $x e^{- y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} x + 10 e^{- y}$

Paso 1.1.2

Factoriza $e^{- y}$ de $10 e^{- y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} x + e^{- y} \cdot 10$

Paso 1.1.3

Factoriza $e^{- y}$ de $e^{- y} x + e^{- y} \cdot 10$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (x + 10)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (x + 10))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (x + 10))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = x + 10$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (x + 10) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int x + 10 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int x + 10 d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int x + 10 d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int x + 10 d x$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int x + 10 d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int x + 10 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int x + 10 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{y} + C_{1} = \int x d x + \int 10 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 10 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 10 x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$