Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 13 \sin (2 t)$ , $y (0) = 6$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 3$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 t} y = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $13$ es constante con respecto a $t$ , mueve $13$ fuera de la integral.

$e^{3 t} y = 13 \int e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Paso 6.2

Reordena $e^{3 t}$ y $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 \int \sin (2 t) e^{3 t} d t$

Paso 6.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 t)$ y $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (2 \cos (2 t)) d t)$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Paso 6.5

Combina fracciones.

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Paso 6.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Paso 6.5.2

Combina $\sin (2 t)$ y $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Paso 6.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Paso 6.5.4

Reordena $e^{3 t}$ y $\cos (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int \cos (2 t) e^{3 t} d t))$

Paso 6.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 t)$ y $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (- 2 \sin (2 t)) d t)))$

Paso 6.7

Dado que $\frac{1}{3} \cdot - 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3} \cdot - 2$ fuera de la integral.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Paso 6.8

Simplifica los términos.

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Paso 6.8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Paso 6.8.2

Combina $\cos (2 t)$ y $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Paso 6.8.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Paso 6.8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Paso 6.8.5

Multiplica $\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{3 \cdot 3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Paso 6.8.6

Multiplica.

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Paso 6.8.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Paso 6.8.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + 1 (\frac{2}{3}) (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Paso 6.8.6.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{2}{3} (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Paso 6.8.7

Multiplica $\frac{- 2}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Paso 6.8.8

Multiplica.

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Paso 6.8.8.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Paso 6.8.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Paso 6.9

Al resolver $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ , obtenemos que $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ = $\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Paso 6.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.10.1

Simplifica.

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Paso 6.10.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cdot (\cos (2 t) e^{3 t})}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Paso 6.10.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{13}{9}$ .

$e^{3 t} y = 13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$

Paso 6.10.2

Reescribe $13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$ como $13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3

Simplifica.

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Paso 6.10.3.1

Mueve $9$ a la izquierda de $\sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \cdot (\sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3.2

Multiplica $3$ por $13$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \sin (2 t) e^{3 t}}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3.3

Cancela el factor común de $9$ y $39$ .

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Paso 6.10.3.3.1

Factoriza $3$ de $9 \sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.10.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $39$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 (13)} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.4

Simplifica.

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Paso 6.10.4.1

Reordena los factores en $\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 6.10.4.2

Reordena los factores en $\frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3}{13} e^{3 t} \sin (2 t) - \frac{2}{13} e^{3 t} \cos (2 t)) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica $\frac{3}{13} (e^{3 t} \sin (2 t))$ .

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Paso 7.1.1.1.1

Combina $e^{3 t}$ y $\frac{3}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13} \sin (2 t) - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Paso 7.1.1.1.2

Combina $\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13}$ y $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3 \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Paso 7.1.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \cdot e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Paso 7.1.1.3

Multiplica $- \frac{2}{13} (e^{3 t} \cos (2 t))$ .

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Paso 7.1.1.3.1

Combina $e^{3 t}$ y $\frac{2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{e^{3 t} \cdot 2}{13} \cos (2 t)) + C$

Paso 7.1.1.3.2

Combina $\cos (2 t)$ y $\frac{e^{3 t} \cdot 2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) (e^{3 t} \cdot 2)}{13}) + C$

Paso 7.1.1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{13}) + C$

Paso 7.1.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 7.1.3

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 7.1.3.1

Cancela el factor común.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 7.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ al numerador.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Paso 7.1.4.2

Cancela el factor común.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Paso 7.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t} + C$

Paso 7.1.5

Reordena los factores en $3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ por $e^{3 t}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ por $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 t}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{3 t}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Divide $3 \sin (2 t)$ por $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{3 t}$ .

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Paso 7.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 7.2.3.1.2.2

Divide $- 2 \cos (2 t)$ por $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $6$ por $y$ en $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$6 = 3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$ .

$3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Simplifica $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

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Paso 9.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 \sin (0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$3 \cdot 0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - 2 \cos (0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.7

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1.7.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Paso 9.2.1.1.7.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{1} = 6$

Paso 9.2.1.1.8

Divide $C$ por $1$ .

$0 - 2 + C = 6$

Paso 9.2.1.2

Resta $2$ de $0$ .

$- 2 + C = 6$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 6 + 2$

Paso 9.3.2

Suma $6$ y $2$ .

$C = 8$

Paso 10

Sustituye $8$ por $C$ en $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $8$ por $C$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{8}{e^{3 t}}$