Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = 2 x$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 x)$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2 x e^{- x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2 x e^{- x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 x e^{- x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int 2 x e^{- x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = 2 \int x e^{- x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 6.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 6.4.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 6.5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 6.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 6.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 6.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- x} y = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Paso 6.8

Reescribe $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ como $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Paso 6.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- x} y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.3.6.1

Reescribe $- (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ como $- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Paso 7.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - C}{e^{- x}}$