Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} \sin (x) + y \cos (x) = 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reordena los términos.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 1$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $y \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos (x)) = 1$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $\cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 1$

Paso 2

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $\sin (x) y$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Paso 2.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 1$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\sin (x) y = \int d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\sin (x) y = x + C$

Paso 7

Divide cada término en $\sin (x) y = x + C$ por $\sin (x)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $\sin (x) y = x + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Separa las fracciones.

$y = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 7.3.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = \frac{x}{1} \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 7.3.1.3

Divide $x$ por $1$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Paso 7.3.1.4

Separa las fracciones.

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 7.3.1.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = x \csc (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Paso 7.3.1.6

Divide $C$ por $1$ .

$y = x \csc (x) + C \csc (x)$