Cálculo Ejemplos

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Paso 1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y (2 x - 3)$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 2.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Paso 2.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 y = 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = y (2 x - 3)$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $2 x - 3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x - 3$ fuera de la integral.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.3

Reescribe $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.2

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.9

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.11

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.3.11.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $6 x$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Paso 10.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.6

Combina $y^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.7

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.8

Reordena los factores de $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.9

Combina $y^{2} x$ y $- \frac{3 y^{2}}{2}$ mediante un denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.9.1

Reordena $y^{2}$ y $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.9.2

Para escribir $x y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.9.3

Combina $x y^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.10.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.10.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.10.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.10.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.1.10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Paso 12.2

Para escribir $3 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.3

Combina $3 x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.5.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$