Cálculo Ejemplos

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Paso 3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $y$ de $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Reordena $x^{2}$ y $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 4.3.3

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Paso 4.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.3.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Paso 4.3.4.2

Reescribe $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.4.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.4.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.4.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.3.4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Paso 4.3.4.3.4

Multiplica $\arctan (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Paso 4.3.4.4

Reordena los términos.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Paso 5.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ como $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

Paso 6.2

Reordena $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$