Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ con respecto a $x$ es $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ como $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $π$ por $y$ en $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Paso 4.2.1.1.2

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$0 + K = π$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = π$

Paso 5

Sustituye $π$ por $K$ en $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $π$ por $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$