Cálculo Ejemplos

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y - 2$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Paso 1.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x - y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = 3$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y - 2$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y - 2$ por $M$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

Paso 4.3.2

Sustituye $y - 2$ por $M$ .

$\frac{2}{y - 2}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

Paso 5.2

Sea $u = y - 2$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.2.1

Deja $u = y - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 5.2.1.1

Diferencia $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Paso 5.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 5.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Paso 5.2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Paso 5.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $2 \ln (| y - 2 |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y - 2 |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe ${(y - 2)}^{2}$ como $(y - 2) (y - 2)$ .

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

Paso 5.6.5

Expande $(y - 2) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

Paso 5.6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

Paso 5.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Paso 5.6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.6.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Paso 5.6.6.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Paso 5.6.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

Paso 5.6.6.2

Resta $2 y$ de $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ por el factor integrador $y^{2} - 4 y + 4$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y - 2$ por $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.2

Expande $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.3.1

Mueve $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.4

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.3.6

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.4

Resta $2 y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.5

Suma $4 y$ y $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $3 x - y$ por $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

Paso 6.7

Expande $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.8.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 6.8.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.8.6.1

Mueve $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Paso 6.8.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 6 y^{2}$ con respecto a $y$ es $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.6

Como $12$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $12 y$ con respecto a $y$ es $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.8

Como $- 8$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.9

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.10

Multiplica $12$ por $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.3.11

Suma $3 y^{2} - 12 y + 12$ y $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.5.2.2

Mueve $12$ a la izquierda de $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $3 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

Paso 12.1.2

Suma $12 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

Paso 12.1.3

Resta $12 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

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Paso 12.1.4.1

Reordena los factores en los términos $3 x y^{2}$ y $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Paso 12.1.4.2

Resta $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

Paso 12.1.4.3

Suma $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

Paso 12.1.4.4

Suma $- 12 x y$ y $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

Paso 12.1.4.5

Suma $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

Paso 12.1.4.6

Resta $12 x$ de $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

Paso 12.1.4.7

Suma $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Paso 13.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Paso 13.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Paso 13.6

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Paso 13.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

Paso 13.8

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

Paso 13.9

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 13.10

Simplifica.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Paso 13.11

Simplifica.

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Paso 13.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 13.11.2

Combina $- 4$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

Paso 13.11.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 13.11.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

Paso 13.11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.11.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

Paso 13.11.3.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Paso 13.11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

Paso 13.11.3.2.4

Divide $- 2 y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

Paso 13.12

Simplifica.

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Paso 13.12.1

Reordena los términos.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Paso 13.12.2

Elimina los paréntesis.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Paso 15.2

Combina $y^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$