Cálculo Ejemplos

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

Paso 3.2

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

Paso 3.2.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 3.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.3.1

Combina $K$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.2.4

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Paso 3.2.5

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 3.2.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 3.2.7.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 3.2.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Paso 3.2.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Paso 3.2.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ como $3$ .

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Paso 3.2.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3}$ como $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.2.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.2.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.2.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.2.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Paso 3.2.7.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Paso 3.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ como $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Paso 3.2.8.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Paso 3.2.9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.2.9.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

Paso 3.2.9.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$