Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

Paso 1

Sea $v = e^{6 x - 5 y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{6 x - 5 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{6 x - 5 y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 x - 5 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Paso 2.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Paso 2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Paso 2.6

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{6 x - 5 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

Paso 5

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ por $- (5 v)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ por $- (5 v)$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $5 v$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.1.2

Factoriza $5 v$ de $- (5 v)$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $5$ de $- (5 v)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

Paso 5.3.2

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

Paso 6

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Paso 7

Resuelve la ecuación en $v$ .

$y = v^{- 1}$

Paso 8

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Paso 9

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

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Paso 9.1

Calcula la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Paso 9.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Paso 9.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.3.2

Resta $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Paso 9.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Paso 10

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d v}{d x}$ y $v^{- 1}$ por $v$ en la ecuación original $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

Paso 11

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 11.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 11.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.2.1.1

Cancela el factor común de $v^{2}$ .

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Paso 11.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.1.2

Factoriza $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.5

Multiplica $v^{- 1}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.2.1.5.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.6

Simplifica $- 6 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.2.1.7

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Paso 11.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Paso 11.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Paso 11.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

Paso 11.1.3.2

Multiplica $v^{- 2}$ por $v^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.3.2.1

Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Paso 11.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Paso 11.1.3.2.3

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

Paso 11.1.3.3

Simplifica $- 5 x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

Paso 11.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

Paso 11.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 6$ .

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Paso 11.2.1

Establece la integración.

$e^{\int 6 d x}$

Paso 11.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{6 x + C}$

Paso 11.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{6 x}$

Paso 11.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{6 x}$ .

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Paso 11.3.1

Multiplica cada término por $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

Paso 11.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

Paso 11.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

Paso 11.3.4

Reordena los factores en $e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

Paso 11.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

Paso 11.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

Paso 11.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

Paso 11.7

Integra el lado derecho.

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Paso 11.7.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

Paso 11.7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Paso 11.7.3

Simplifica.

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Paso 11.7.3.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Paso 11.7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Paso 11.7.3.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Paso 11.7.4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Paso 11.7.5

Sea $u = 6 x$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.7.5.1

Deja $u = 6 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.7.5.1.1

Diferencia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 11.7.5.1.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.7.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 11.7.5.1.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$

Paso 11.7.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Paso 11.7.6

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Paso 11.7.7

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Paso 11.7.8

Simplifica.

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Paso 11.7.8.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Paso 11.7.8.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Paso 11.7.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Paso 11.7.10

Reescribe $5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ como $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Paso 11.7.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

Paso 11.8

Resuelve $v$

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Paso 11.8.1

Simplifica.

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Paso 11.8.1.1

Combina $e^{6 x}$ y $\frac{1}{36}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Paso 11.8.1.2

Elimina los paréntesis.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Paso 11.8.2

Divide cada término en $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ por $e^{6 x}$ y simplifica.

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Paso 11.8.2.1

Divide cada término en $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ por $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{6 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.8.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.3.1.1.1

Factoriza $e^{6 x}$ de $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{6 x}$ de $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{6 x}$ de $- \frac{e^{6 x}}{36}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{6 x}$ de $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.3

Para escribir $\frac{x}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.8.2.3.1.1.4.1

Multiplica $\frac{x}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.4.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.6

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.7

Combina exponentes.

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Paso 11.8.2.3.1.1.7.1

Combina $\frac{6 x - 1}{36}$ y $5$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.7.2

Combina $\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ y $e^{6 x}$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.1.8

Mueve $5$ a la izquierda de $6 x - 1$ .

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.3

Combinar.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.4

Cancela el factor común de $e^{6 x}$ .

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Paso 11.8.2.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.1.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.2

Para escribir $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.3

Para escribir $\frac{C}{e^{6 x}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Paso 11.8.2.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $36 e^{6 x}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.8.2.3.4.1

Multiplica $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ por $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Paso 11.8.2.3.4.2

Multiplica $\frac{C}{e^{6 x}}$ por $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

Paso 11.8.2.3.4.3

Reordena los factores de $e^{6 x} \cdot 36$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 11.8.2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.6.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.6.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Paso 11.8.2.3.6.5

Mueve $36$ a la izquierda de $C$ .

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Paso 12

Sustituye $v^{- 1}$ por $v$ .

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{6 x - 5 y}$ .

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Paso 14

Resuelve $y$

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Paso 14.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Paso 14.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Expande $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ ; para ello, mueve $- 1$ fuera del logaritmo.

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Paso 14.2.2

Expande $\ln (e^{6 x - 5 y})$ ; para ello, mueve $6 x - 5 y$ fuera del logaritmo.

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Paso 14.2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Paso 14.2.4

Multiplica $6 x - 5 y$ por $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Paso 14.3

Expande el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Reescribe $\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ como $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

Paso 14.3.2

Reescribe $\ln (36 e^{6 x})$ como $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

Paso 14.3.3

Expande $\ln (e^{6 x})$ ; para ello, mueve $6 x$ fuera del logaritmo.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

Paso 14.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

Paso 14.3.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Paso 14.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.4.1

Simplifica $- (6 x - 5 y)$ .

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Paso 14.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Paso 14.4.1.2

Multiplica.

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Paso 14.4.1.2.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Paso 14.4.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Paso 14.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.5.1

Simplifica $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ .

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Paso 14.5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

Paso 14.5.1.1.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

Paso 14.5.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

Paso 14.5.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 14.5.1.3.1

Divide la fracción $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ en dos fracciones.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Paso 14.5.1.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 14.5.1.3.2.1

Factoriza $5 e^{6 x}$ de $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ .

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Paso 14.5.1.3.2.1.1

Factoriza $5 e^{6 x}$ de $30 x e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Paso 14.5.1.3.2.1.2

Factoriza $5 e^{6 x}$ de $- 5 e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Paso 14.5.1.3.2.1.3

Factoriza $5 e^{6 x}$ de $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Paso 14.5.1.3.2.2

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 14.5.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Paso 14.5.1.3.2.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

Paso 14.6

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 14.6.1

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

Paso 14.6.2

Combina los términos opuestos en $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ .

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Paso 14.6.2.1

Suma $- 6 x$ y $6 x$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

Paso 14.6.2.2

Suma $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ y $0$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

Paso 14.7

Divide cada término en $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ por $5$ y simplifica.

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Paso 14.7.1

Divide cada término en $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Paso 14.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.7.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 14.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Paso 14.7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$