Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{3})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{3}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{3}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Paso 6.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Paso 6.4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 6.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Paso 6.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Paso 6.4.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Paso 6.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.6.1

Reescribe $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.6.2

Simplifica.

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Paso 6.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x)$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.2

Combina $\frac{\ln (x)}{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Paso 6.6.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Paso 6.6.4

Reordena los términos.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Paso 7.1.2

Elimina los paréntesis.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{4}$ al numerador.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.4.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica $\frac{- 1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 7.2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$