Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x + 2)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (x + 1) (x + 2) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.4

Reordena $x$ y $2$ .

$y + C_{1} = \int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.8

Suma $1$ y $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Paso 2.3.1.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Paso 2.3.1.11

Suma $2 x$ y $x$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

Paso 2.3.7.3

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$