Cálculo Ejemplos

$x y^{2} \frac{d y}{d x} - x = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ por $x y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ por $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{1}{y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{y^{2} x}$

Paso 1.2.2.2

Reordena los factores de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{x}{y^{2} x}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1 + x}{x}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{x y^{2}}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Paso 3.3

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$