Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = x + 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1$

Paso 2.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x + e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x} + e^{x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int x e^{x} + e^{x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int e^{x} d x$

Paso 6.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + \int e^{x} d x$

Paso 6.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C) + e^{x} + C$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Simplifica.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + e^{x} + C$

Paso 6.5.2

Simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Suma $- e^{x}$ y $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} + 0 + C$

Paso 6.5.2.2

Suma $x e^{x}$ y $0$ .

$e^{x} y = x e^{x} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x} y = x e^{x} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x} y = x e^{x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$y = x + \frac{C}{e^{x}}$