Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Paso 1

Supón $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Paso 2

Comprueba si la función es continua en el entorno de $(3, 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye los valores $(3, 1)$ en $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\sqrt{3 - y}$

Paso 2.1.2

Sustituye $1$ por $y$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Paso 2.1.3

Resta $1$ de $3$ .

$\sqrt{2}$

Paso 2.2

Como no hay ningún logaritmo con argumento negativo o cero, ningún radical par con radicando cero o negativo ni ninguna fracción con cero en el denominador, la función es continua en un intervalo abierto alrededor del valor $x$ de $(3, 1)$ .

Continuo

Paso 3

Obtén la derivada parcial con respecto a $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la derivada parcial.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Paso 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - y}$ como ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.8.3

Mueve ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 3.10

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 3.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 3.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.14

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Paso 3.14.2

Combina $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.14.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Comprueba si la derivada parcial con respecto a $y$ es continua en el entorno de $(3, 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $(3, 1)$ en $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Paso 4.2.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Paso 4.2.3

Sustituye $3$ por $y$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Paso 4.3

Continuo

Paso 5

Tanto la función como su derivada parcial con respecto a $y$ son continuas en un intervalo abierto alrededor del valor $x$ de $(3, 1)$ .

Una solución única