Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $\cos (2 y)$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $\cos (2 y)$ de $2 \cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $8 e^{4 x}$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

Paso 1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

Paso 1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

Paso 1.2.2.2.4

Divide $4 e^{4 x}$ por $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 y$ . Entonces $d u_{1} = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.2.2

Combina $\cos (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = 4 x$ . Entonces $d u_{2} = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

Paso 3.3

Reordena $2 e^{4 x}$ y $2 K$ .

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

Paso 3.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de seno.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$