Cálculo Ejemplos

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

Paso 2

Obtén $y'$ .

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

Paso 2.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 2.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Paso 2.3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.2.7

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Paso 2.3.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

Paso 2.3.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

Paso 2.3.3.7

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Paso 3

Obtén $y''$ .

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Paso 3.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.3.7

Multiplica $3$ por $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 e^{4 x}$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.4.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Paso 3.4.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

Paso 3.4.6

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

Paso 3.4.7

Multiplica $4$ por $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

Paso 4

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Paso 5.1.2

Multiplica $6$ por $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Paso 5.1.3

Multiplica $- 20$ por $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Paso 5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Paso 5.1.5

Multiplica $2$ por $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Paso 5.1.6

Multiplica $- 5$ por $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Paso 5.2

Resta $42 e^{3 x}$ de $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Paso 5.3

Combina los términos opuestos en $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

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Paso 5.3.1

Suma $- 24 e^{3 x}$ y $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Paso 5.3.2

Resta $80 e^{4 x}$ de $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Paso 5.4

Suma $- 80 e^{4 x}$ y $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Paso 5.5

Resta $60 e^{4 x}$ de $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

Paso 6

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ es una solución para $y'' - 7 y' + 12 y = 0$