Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 2 y}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{x^{3} - 2 y}{x}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 2 y}{x}$

Paso 1.1.2

Resta $\frac{- 2 y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $- \frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 2}{x}) = \frac{x^{3}}{x}$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $- \frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 2}{x} y = \frac{x^{3}}{x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{- 2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{- 2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $1$ .

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (- \frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (\frac{- 2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.3

Combina $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} (- \frac{y \cdot 2}{x}) = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y \cdot 2}{x}$ al numerador.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.4.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.4.3

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (- x) \frac{- y \cdot 2}{x} = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.4.4

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- y \cdot 2) = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - x (- 2 y) = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.2.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{x^{3}}{x}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x^{3}$

Paso 3.4

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{1} x^{3}$

Paso 3.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{1 + 3}$

Paso 3.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{5} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$