Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x y^{- 2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (2 x y^{- 2})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y^{- 2}} (x y^{- 2})$

Paso 1.2.2

Mueve $y^{- 2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 y^{2} (x y^{- 2})$

Paso 1.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.1

Mueve $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 (y^{- 2} y^{2}) x$

Paso 1.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 y^{- 2 + 2} x$

Paso 1.2.3.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 y^{0} x$

Paso 1.2.4

Simplifica $2 y^{0} x$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $y^{- 2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + 3 K}$

Paso 3.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} + K)}$