Cálculo Ejemplos

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Paso 2.3.3

Dado que $2 t - 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 t - 1$ fuera de la integral.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Paso 3

Divide cada término en $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ por $t$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ por $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Paso 3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Paso 3.3.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Paso 3.3.2.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Paso 3.3.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Paso 3.3.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Paso 3.3.2.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Paso 3.3.2.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Paso 3.3.2.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.8

Combina $x^{2} t$ y $- \frac{x^{2}}{2}$ mediante un denominador común.

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Paso 3.3.2.8.1

Reordena $x^{2}$ y $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.8.2

Para escribir $t x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.8.3

Combina $t x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.9.1

Factoriza $x^{2}$ de $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.9.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.9.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.9.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.2.9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.3

Para escribir $6 e^{2 t} t x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.4.1

Combina $6 e^{2 t} t x$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $x$ de $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

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Paso 3.3.5.1.1

Factoriza $x$ de $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.1.3

Factoriza $x$ de $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.5.6

Simplifica cada término.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Paso 3.3.6

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Paso 3.3.7

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.7.1

Combina $K$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.2

Simplifica.

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Paso 3.3.8.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.8.3.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.8.3.1.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.8.3.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Paso 3.3.8.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Paso 3.3.9

Reordena los factores en $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Paso 3.3.10

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Paso 3.3.11

Multiplica $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ por $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$