Cálculo Ejemplos

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $x + 1$ de $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 2.3.3

Reescribe la expresión.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{x + 1}$ y $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2.3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.2.3.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide $x$ por $x + 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Paso 3.3.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 3.3.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Paso 3.3.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Paso 3.3.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Paso 3.3.1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 3.3.5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 3.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 3.3.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.3.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Paso 3.3.7

Simplifica.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 3.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Paso 4.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Paso 4.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Paso 4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$