Cálculo Ejemplos

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $\sin (θ) r$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d θ} [r]$ como $r'$ .

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d r}{d θ}$ por $r'$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

Paso 5

La integral de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

Paso 6

Divide cada término en $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ por $\sin (θ)$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ por $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\sin (θ)$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Paso 6.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Separa las fracciones.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Paso 6.3.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Paso 6.3.1.3

Divide $\ln (| \sec (θ) |)$ por $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Paso 6.3.1.4

Separa las fracciones.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Paso 6.3.1.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

Paso 6.3.1.6

Divide $C$ por $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$