Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{4} + x^{4}}{x y^{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide $\frac{2 y^{4} + x^{4}}{x y^{3}}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide la fracción $\frac{2 y^{4} + x^{4}}{x y^{3}}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{4}}{x y^{3}} + \frac{x^{4}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $y^{4}$ y $y^{3}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Factoriza $y^{3}$ de $2 y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} (2 y)}{x y^{3}} + \frac{x^{4}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} x} + \frac{x^{4}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} x} + \frac{x^{4}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x^{4}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x \cdot x^{3}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x \cdot x^{3}}{x (y^{3})}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x \cdot x^{3}}{x y^{3}}$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x^{3}}{y^{3}}$

Paso 1.2

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot 2 + \frac{x^{3}}{y^{3}}$

Paso 1.2.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{y}{x} + \frac{x^{3}}{y^{3}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{x^{3}}{y^{3}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{y}{x} + {(\frac{x}{y})}^{3}$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{y}{x} + {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{3}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot V + {(V^{- 1})}^{3}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 \cdot V + {(V^{- 1})}^{3}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(V^{- 1})}^{3}$ .

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Paso 6.1.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 V + V^{- 1 \cdot 3}$

Paso 6.1.1.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 V + V^{- 3}$

Paso 6.1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 V + \frac{1}{V^{3}}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = 2 V + \frac{1}{V^{3}} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Resta $V$ de $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V^{3}}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V^{3}}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V^{3}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{\frac{1}{V^{3}}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{\frac{1}{V^{3}}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{\frac{1}{V^{3}}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.1.2

Combinar.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{1 \cdot 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.1.3.3.1.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2

Factoriza.

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Paso 6.1.2.1

Para escribir $\frac{V}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{V^{3}}{V^{3}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} \cdot \frac{V^{3}}{V^{3}} + \frac{1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x V^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Multiplica $\frac{V}{x}$ por $\frac{V^{3}}{V^{3}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V^{3}}{x V^{3}} + \frac{1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2.2.2

Reordena los factores de $x V^{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V^{3}}{V^{3} x} + \frac{1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V^{3} + 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2.4

Multiplica $V$ por $V^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.4.1

Multiplica $V$ por $V^{3}$ .

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Paso 6.1.2.4.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V^{3} + 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1 + 3} + 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.2.4.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{4} + 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{4} + 1}{V^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{V^{3}}{V^{4} + 1}$ .

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{V^{4} + 1} (\frac{V^{4} + 1}{V^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.5

Simplifica.

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Paso 6.1.5.1

Multiplica $\frac{V^{4} + 1}{V^{3}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \cdot \frac{V^{4} + 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.5.2

Cancela el factor común de $V^{3}$ .

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Paso 6.1.5.2.1

Factoriza $V^{3}$ de $V^{3} x$ .

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \cdot \frac{V^{4} + 1}{V^{3} (x)}$

Paso 6.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \cdot \frac{V^{4} + 1}{V^{3} x}$

Paso 6.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{4} + 1} \cdot \frac{V^{4} + 1}{x}$

Paso 6.1.5.3

Cancela el factor común de $V^{4} + 1$ .

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Paso 6.1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{4} + 1} \cdot \frac{V^{4} + 1}{x}$

Paso 6.1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{V^{3}}{V^{4} + 1} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{V^{3}}{V^{4} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $V^{4}$ como ${(V^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{V^{3}}{{(V^{4})}^{1} + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Sea $u_{1} = V^{4}$ . Entonces $d u_{1} = 4 V^{3} d V$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = V^{3} d V$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Deja $u_{1} = V^{4}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Diferencia $V^{4}$ .

$\frac{d}{d V} [V^{4}]$

Paso 6.2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 V^{3}$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Simplifica.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Sea $u_{2} = u_{1} + 1$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.2.5.1

Deja $u_{2} = u_{1} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.2.2.5.1.1

Diferencia $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Paso 6.2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $u_{1} + 1$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 6.2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Paso 6.2.2.5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.2.2.5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.2.2.8.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $V^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| V^{4} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| V^{4} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| V^{4} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| V^{4} + 1 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} \ln (| V^{4} + 1 |))$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| V^{4} + 1 |)$ .

$4 \frac{\ln (| V^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{\ln (| V^{4} + 1 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| V^{4} + 1 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| V^{4} + 1 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Paso 6.3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| V^{4} + 1 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Paso 6.3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.4.1

Simplifica $\ln (| V^{4} + 1 |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Paso 6.3.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.4.1.1.1

Simplifica $- 4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln (| V^{4} + 1 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Paso 6.3.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| V^{4} + 1 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Paso 6.3.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}}) = 4 C$

Paso 6.3.5

Para resolver $V$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Paso 6.3.6

Reescribe $\ln (\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}}) = 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}}$

Paso 6.3.7

Resuelve $V$

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Paso 6.3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Paso 6.3.7.2

Multiplica ambos lados por $x^{4}$ .

$\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Paso 6.3.7.3

Simplifica.

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Paso 6.3.7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 6.3.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| V^{4} + 1 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Paso 6.3.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| V^{4} + 1 | = e^{4 C} x^{4}$

Paso 6.3.7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.7.3.2.1

Reordena los factores en $e^{4 C} x^{4}$ .

$| V^{4} + 1 | = x^{4} e^{4 C}$

Paso 6.3.7.4

Resuelve $V$

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Paso 6.3.7.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$V^{4} + 1 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Paso 6.3.7.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$V^{4} = \pm x^{4} e^{4 C} - 1$

Paso 6.3.7.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt[4]{\pm x^{4} e^{4 C} - 1}$

Paso 6.4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.4.1

Simplifica la constante de integración.

$V = \pm \sqrt[4]{\pm x^{4} C - 1}$

Paso 6.4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$V = \pm \sqrt[4]{C x^{4} - 1}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt[4]{C x^{4} - 1}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \pm \sqrt[4]{C x^{4} - 1}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt[4]{C x^{4} - 1}) x$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt[4]{C x^{4} - 1}) x$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\pm \sqrt[4]{C x^{4} - 1}) x$