Cálculo Ejemplos

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Paso 1

Resta $e^{x} e^{y} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.2

Combina $e^{- 2 y}$ y $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $e^{- 2 y}$ y $e^{y}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $e^{y}$ de $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.3.2.4

Divide $e^{- 3 y}$ por $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{y}}$ al numerador.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $e^{y}$ de $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Paso 3.6

Multiplica $e^{x - y}$ por $e^{y}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Paso 3.6.2

Combina los términos opuestos en $x - y + y$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $- y$ y $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Paso 3.6.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u = - 3 y$ . Entonces $d u = - 3 d y$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u = - 3 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Paso 4.2.2.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.5.2

Multiplica $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ por $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.8

Simplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Paso 4.2.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $3 (- e^{x} + K)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Paso 5.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Paso 5.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Expande $\ln (e^{- 3 y})$ ; para ello, mueve $- 3 y$ fuera del logaritmo.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Paso 5.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Paso 5.4.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Paso 5.5

Divide cada término en $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$