Cálculo Ejemplos

$x \sqrt{1 + y^{2}} d x + y \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Paso 1

Resta $x \sqrt{1 + y^{2}} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y \sqrt{1 + x^{2}} d y = - x \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.2

Eleva $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.3

Eleva $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ como $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

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Paso 3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ como ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.2.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}})$ .

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Paso 3.3.1

Combina $y$ y $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ y $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3.4

Eleva $1 + x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3.5

Eleva $1 + x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1 + 1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{{(1^{2} + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{y ((1^{2} + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{y ((1 + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (1 \sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.5

Multiplica $\sqrt{1 + y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.6

Factoriza $\sqrt{1 + y^{2}}$ de $\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ .

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Paso 3.4.6.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.6.2

Factoriza $\sqrt{1 + y^{2}}$ de $x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.4.6.3

Factoriza $\sqrt{1 + y^{2}}$ de $\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2}$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}) (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.8.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.2

Eleva $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.3

Eleva $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ como $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

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Paso 3.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ como ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.8.6.5

Simplifica.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Paso 3.9

Multiplica $- \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}})$ .

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Paso 3.9.1

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Paso 3.9.2

Combina $\sqrt{1 + y^{2}}$ y $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{1 + y^{2}} (x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.9.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + y^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.9.4

Eleva $1 + y^{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} (1 + y^{2}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.9.5

Eleva $1 + y^{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} {(1 + y^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.9.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1 + 1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.9.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1^{2} + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1^{2} + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1 + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (1 \sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.5

Multiplica $\sqrt{1 + x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.6

Factoriza $\sqrt{1 + x^{2}}$ de $\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Paso 3.10.6.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.6.2

Factoriza $\sqrt{1 + x^{2}}$ de $y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.10.6.3

Factoriza $\sqrt{1 + x^{2}}$ de $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.11

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Paso 3.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.1

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.2.2

Multiplica $u_{1}$ por ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.2.1

Multiplica $u_{1}$ por ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.2.1.1

Eleva $u_{1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.4.3.1

Mueve ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.3.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.4.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6.2

Simplifica.

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Paso 4.2.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6.2.3

Multiplica ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.1

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2.2

Multiplica $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.2.1

Multiplica $u_{2}$ por ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.2.2.1.1

Eleva $u_{2}$ a la potencia de $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.5.3.1

Mueve ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 4.3.5.3.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.5.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 4.3.5.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.1

Reescribe $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.7.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.7.2.3.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$