Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3 x}$ al numerador.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $3 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

Paso 3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

Paso 3.4.3

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 3.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 3.4.5.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Paso 3.4.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.5.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Paso 3.4.5.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 3.4.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.5.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.5.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.5.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Paso 3.4.5.5.5

Simplifica.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Paso 3.4.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

Paso 3.4.8

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$