Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 5 x e^{y}$ , $y (0) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (5 x e^{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 5 \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

Paso 1.2.2

Combina $5$ y $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (x e^{y})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (e^{y} x)$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{e^{y}} (e^{y} x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 5 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{y}} d y = 5 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 5 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 5 x d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 5 x d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 5 x d x$

Paso 2.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 5 x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 5 x d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 5 x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} d u = \int 5 x d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 5 x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int 5 x d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 5 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- e^{- y} + C_{1} = 5 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{5}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- e^{- y} = \frac{5}{2} x^{2} + K$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{5}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{5}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\frac{5}{2} x^{2})$ como $- (\frac{5}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{5}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{5 x^{2}}{2} - K$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{- y})$ ; para ello, mueve $- y$ fuera del logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Paso 3.4

Divide cada término en $- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- y = \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ como $- \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$ .

$0 = - \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ .

$- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$

Paso 6.2

Divide cada término en $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K)$ por $1$ .

$\ln (- \frac{5 \cdot 0^{2}}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\ln (- \frac{5 \cdot 0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\ln (- \frac{0}{2} + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$\ln (- 0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\ln (0 + K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.3

Suma $0$ y $K$ .

$\ln (K) = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\ln (K) = 0$

Paso 6.3

Para resolver $K$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (K)} = e^{0}$

Paso 6.4

Reescribe $\ln (K) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = K$

Paso 6.5

Resuelve $K$

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $K = e^{0}$ .

$K = e^{0}$

Paso 6.5.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$K = 1$

Paso 7

Sustituye $1$ por $K$ en $y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + K)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$y = - \ln (- \frac{5 x^{2}}{2} + 1)$