Cálculo Ejemplos

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{e^{y}}$ y $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $e^{y}$ de $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.1.2.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.4

Simplifica.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.5

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.5.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.5.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 4.2.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.2.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.8

Reescribe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.2.10

Reordena los términos.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Paso 4.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Paso 4.3.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Paso 4.3.4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 4.3.6

Aplica la regla de la constante.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Paso 4.3.8

Reordena los términos.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$