Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $1 + 2 y^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $y$ de $2 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2.5

Divide $2 y$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Simplifica.

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7.2

Simplifica.

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Paso 2.2.7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.8

Reordena los términos.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$