Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y}{y x^{2}}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y}{y x^{2}}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{1}{x} + C}$ como $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{1}{x}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{1}{x}}$